高等數學

緒論 微積分的背景

微積分有一段漫長的歷史。儘管大家都認為微積分是由牛頓和萊布尼茲各自獨立發明的，但早在此之前，無窮分析的思想就已有了萌芽。

0.1 芝諾悖論與窮竭法

約公元前450年，巴門尼德（Parmenides）的門徒埃利亞人芝諾提出了四個悖論，經亞里士多德記錄下來，分別稱為阿喀琉斯（Achilles）悖論、飛矢不動悖論、二分法悖論和遊行隊伍悖論。這四個悖論造成的震盪，餘波至今未息。

阿喀琉斯悖論　　阿喀琉斯和烏龜沿直線向相同方向運動，阿喀琉斯比烏龜快得多，但要趕上烏龜，他必須先經過烏龜的起點P.等他到達P，烏龜已經走到P₁，阿喀琉斯要追上烏龜先要經過P₁，但此時烏龜已經走到新點P₂.等他到達P₂，烏龜又走到P₃，等等，所以阿喀琉斯永遠也追不上烏龜.

二分法悖論　　假設我想沿直線從A到B，在到達B之前先要走過AB距離的一半AB₁，而要到達B₁，又先要到達AB₁的中點B₂，如此下去無窮無盡，運動永遠無法開始.

芝諾的論證表明，一條有限線段可以分為無窮多條有限長的小線段，論證還表明，解釋所謂直線由點「構成」具有困難。很有可能芝諾本人也不了解他的論證的數學含義，在哲學和數學討論中不斷出現最終變成他的悖論的問題，我們將其看作是關於「潛」無窮和「實」無窮關係的問題。然而塔內里卻相信芝諾的論證特別針對的是畢達哥拉斯學派空間是點之和的觀點（「點就是位置的單元」）.無論事實如何，芝諾的論證確實影響了多少代人的數學思想，他的悖論可以和伯克萊主教（Bishop Berkeley）1734年使用的悖論相媲美，伯克萊主教當時表明了微積分原理構成欠缺引出的邏輯悖論，但沒有提出更好的根據.

發現無理數之後，芝諾的論證更使數學家擔憂.數學作為一門準確的科學是否可能？

「窮竭法」（exhaustion method，「exhaust」一詞首見於聖樊尚(Gregoire de Saint-Vincent)，1647年）是柏拉圖學派對芝諾的回答，通過捨去無窮小量並將可能導致無窮小的問題簡化為只涉及形式邏輯的問題，避免了無窮小陷阱. 例如，當需要證明一個四面體的體積V等於一同底等高的稜柱體的體積P的三分之一時，證明包括表明兩個假設V>1/3P和V<1/3P都不能成立. 為此引進一條與阿基米德（或歐多克索斯）公理等價的公理，阿基米德將這個公理闡述如下：對於兩個不相等的量，「將大量超過小量的量加到該量本身上面，就會超過可與這兩個量相比的任意指定的量」. 這裡「加到該量本身上面」可以重複任意次. 在我們四面體的情況下，推理就是：假設V=A，證明A>1/3P是矛盾的. 將四面體置於n個稜柱組成的外切階梯四面體之內，每個稜柱高h/n，h是四面體的高，可見當n取足夠大時，階梯四面體的體積就會小於A，因為它的體積一定大於V，我們就得到矛盾. 用類似的方法，我們用內接階梯四面體可以證明V<1/3P不能成立. 歐幾里得用這個方法證明了幾個命題，其中有「兩圓面積之比等於直徑之比的平方」的定理.

這個間接方法非常嚴格，稱為希臘和文藝復興時代計算面積和體積標準的嚴格證明模式，而且還可以很容易地翻譯成滿足現代分析所要求的證明. 它的一大缺陷是事先要已知需要證明的結果，數學家必須先用其他不太嚴格和更優實驗性的方法把結果求出來.

0.2 牛頓與萊布尼茲之爭

17世紀，牛頓在《自然哲學的數學原理》中初步描述了他的流數理論。同一時期，萊布尼茲通過研究笛卡爾和帕斯卡，發現了他的新微積分。

第一章 導數

1.2 導數定義及運算法則

導數（英語：derivative）是微積分學中的一個概念。函數在某一點的導數是指這個函數在這一點附近的變化率。