高等数学

绪论 微积分的背景

微积分有一段漫长的历史。尽管大家都认为微积分是由牛顿和莱布尼兹各自独立发明的，但早在此之前，无穷分析的思想就已有了萌芽。

0.1 芝诺悖论与穷竭法

约公元前450年，巴门尼德（Parmenides）的门徒埃利亚人芝诺提出了四个悖论，经亚里士多德记录下来，分别称为阿喀琉斯（Achilles）悖论、飞矢不动悖论、二分法悖论和游行队伍悖论。这四个悖论造成的震荡，余波至今未息。

阿喀琉斯悖论　　阿喀琉斯和乌龟沿直线向相同方向运动，阿喀琉斯比乌龟快得多，但要赶上乌龟，他必须先经过乌龟的起点P.等他到达P，乌龟已经走到P₁，阿喀琉斯要追上乌龟先要经过P₁，但此时乌龟已经走到新点P₂.等他到达P₂，乌龟又走到P₃，等等，所以阿喀琉斯永远也追不上乌龟.

二分法悖论　　假设我想沿直线从A到B，在到达B之前先要走过AB距离的一半AB₁，而要到达B₁，又先要到达AB₁的中点B₂，如此下去无穷无尽，运动永远无法开始.

芝诺的论证表明，一条有限线段可以分为无穷多条有限长的小线段，论证还表明，解释所谓直线由点“构成”具有困难。很有可能芝诺本人也不了解他的论证的数学含义，在哲学和数学讨论中不断出现最终变成他的悖论的问题，我们将其看作是关于“潜”无穷和“实”无穷关系的问题。然而塔内里却相信芝诺的论证特别针对的是毕达哥拉斯学派空间是点之和的观点（“点就是位置的单元”）.无论事实如何，芝诺的论证确实影响了多少代人的数学思想，他的悖论可以和伯克莱主教（Bishop Berkeley）1734年使用的悖论相媲美，伯克莱主教当时表明了微积分原理构成欠缺引出的逻辑悖论，但没有提出更好的根据.

发现无理数之后，芝诺的论证更使数学家担忧.数学作为一门准确的科学是否可能？

0.2 牛顿与莱布尼兹之争

17世纪，牛顿在《自然哲学的数学原理》中初步描述了他的流数理论。同一时期，莱布尼兹通过研究笛卡尔和帕斯卡，发现了他的新微积分。

第一章 导数

1.2 导数定义及运算法则

导数（英语：derivative）是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。