高等数学

绪论 微积分的背景

微积分有一段漫长的历史。尽管大家都认为微积分是由牛顿和莱布尼兹各自独立发明的，但早在此之前，无穷分析的思想就已有了萌芽。

0.1 芝诺悖论与穷竭法

约公元前450年，巴门尼德（Parmenides）的门徒埃利亚人芝诺提出了四个悖论，经亚里士多德记录下来，分别称为阿喀琉斯（Achilles）悖论、飞矢不动悖论、二分法悖论和游行队伍悖论。这四个悖论造成的震荡，余波至今未息。

阿喀琉斯悖论　　阿喀琉斯和乌龟沿直线向相同方向运动，阿喀琉斯比乌龟快得多，但要赶上乌龟，他必须先经过乌龟的起点P.等他到达P，乌龟已经走到P₁，阿喀琉斯要追上乌龟先要经过P₁，但此时乌龟已经走到新点P₂.等他到达P₂，乌龟又走到P₃，等等，所以阿喀琉斯永远也追不上乌龟.

二分法悖论　　假设我想沿直线从A到B，在到达B之前先要走过AB距离的一半AB₁，而要到达B₁，又先要到达AB₁的中点B₂，如此下去无穷无尽，运动永远无法开始.

芝诺的论证表明，一条有限线段可以分为无穷多条有限长的小线段，论证还表明，解释所谓直线由点“构成”具有困难。很有可能芝诺本人也不了解他的论证的数学含义，在哲学和数学讨论中不断出现最终变成他的悖论的问题，我们将其看作是关于“潜”无穷和“实”无穷关系的问题。然而塔内里却相信芝诺的论证特别针对的是毕达哥拉斯学派空间是点之和的观点（“点就是位置的单元”）.无论事实如何，芝诺的论证确实影响了多少代人的数学思想，他的悖论可以和伯克莱主教（Bishop Berkeley）1734年使用的悖论相媲美，伯克莱主教当时表明了微积分原理构成欠缺引出的逻辑悖论，但没有提出更好的根据.

发现无理数之后，芝诺的论证更使数学家担忧.数学作为一门准确的科学是否可能？

“穷竭法”（exhaustion method，“exhaust”一词首见于圣樊尚(Gregoire de Saint-Vincent)，1647年）是柏拉图学派对芝诺的回答，通过舍去无穷小量并将可能导致无穷小的问题简化为只涉及形式逻辑的问题，避免了无穷小陷阱. 例如，当需要证明一个四面体的体积V等于一同底等高的棱柱体的体积P的三分之一时，证明包括表明两个假设V>1/3P和V<1/3P都不能成立. 为此引进一条与阿基米德（或欧多克索斯）公理等价的公理，阿基米德将这个公理阐述如下：对于两个不相等的量，“将大量超过小量的量加到该量本身上面，就会超过可与这两个量相比的任意指定的量”. 这里“加到该量本身上面”可以重复任意次. 在我们四面体的情况下，推理就是：假设V=A，证明A>1/3P是矛盾的. 将四面体置于n个棱柱组成的外切阶梯四面体之内，每个棱柱高h/n，h是四面体的高，可见当n取足够大时，阶梯四面体的体积就会小于A，因为它的体积一定大于V，我们就得到矛盾. 用类似的方法，我们用内接阶梯四面体可以证明V<1/3P不能成立. 欧几里得用这个方法证明了几个命题，其中有“两圆面积之比等于直径之比的平方”的定理.

这个间接方法非常严格，称为希腊和文艺复兴时代计算面积和体积标准的严格证明模式，而且还可以很容易地翻译成满足现代分析所要求的证明. 它的一大缺陷是事先要已知需要证明的结果，数学家必须先用其他不太严格和更优实验性的方法把结果求出来.

0.2 牛顿与莱布尼兹之争

17世纪，牛顿在《自然哲学的数学原理》中初步描述了他的流数理论。同一时期，莱布尼兹通过研究笛卡尔和帕斯卡，发现了他的新微积分。

第一章 导数

1.2 导数定义及运算法则

导数（英语：derivative）是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。